Variations d’une fonction

Connaître les notions de (dé)croissance, monotonie et extrema d’une fonction définie sur un intervalle. Savoir les repérer graphiquement et les relier à un tableau de variations.
Pour une fonction affine, connaitre le lien entre ses variations et le signe de son coefficient directeur.
Connaître les variations des fonctions usuelles.

Variations

Croissance, décroissance

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ est dite :

croissante sur $I$ si, pour tout $x, y \in I$ , $x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ (ie. lorsque $x$ augmente, alors $f (x)$ augmente) ;
décroissante sur $I$ si, pour tout $x, y \in I$ , $x \leq y ⟹ f (x) \geq f (y)$ (ie. lorsque $x$ augmente, alors $f (x)$ diminue) ;
constante sur $I$ si elle garde la même valeur sur $I$ ;
monotone sur $I$ si $f$ est croissante ou décroissante sur $I$ .

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Étudier les variations de $f$ revient à déterminer comment $f$ croît ou décroît sur $I$ . On présente souvent ces résultats dans un tableau de variations.

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La fonction $f$ est décroissante sur $[0; 1] \cup [3; 4]$ , et croissante sur $[1; 3]$ . On peut regrouper cela dans le tableau de variations ci-dessous.

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On a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ ci-contre.

Dresser son tableau de variations sur l’intervalle $[- 2; 2]$ .
Comparer les nombres $f (1)$ et $f (1, 2)$ en justifiant.

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Voici le tableau de variations de la fonction.
Les nombres $1$ et $1, 2$ appartiennent tous deux à l’intervalle $[1; 2]$ . Or, $f$ est décroissante sur cet intervalle. Donc, $f (1) \geq f (1, 2)$ .

Extrema

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

S’il existe $M \in R$ et $a \in I$ tels que $f (a) = M$ et $f (x) \leq M$ pour tout $x \in I$ , on dit que $f$ a un maximum en $a$ sur $I$ . Ce maximum vaut alors $M$ .
S’il existe $m \in R$ et $b \in I$ tels que $f (b) = m$ et $f (x) \geq M$ pour tout $x \in I$ , on dit que $f$ a un minimum en $a$ sur $I$ . Ce maximum vaut alors $M$ .

Ainsi, le maximum de $f$ est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur $I$ ; et le minimum de $f$ est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur $I$ .

Déterminer le maximum de la fonction $f$ de l’exercice précédent sur $[- 2; 2]$ .

D’après la représentation graphique de la fonction $f$ , son maximum est atteint en $- 1$ et vaut $f (- 1) = 3$ .

Fonctions usuelles

Fonctions affines

Propriété

Soit $f : x \mapsto a x + b$ une fonction affine telle que $a \neq = 0$ . Alors le tableau de variations de $f$ dépend du signe de $a$ .

Si $a > 0$ :

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Si $a < 0$ :

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Établir le tableau de variations de la fonction $f : x \mapsto 5 (x - 1)$ sur $[1; 10]$ .

Pour tout $x \in R$ , on a $f (x) = 5 x - 5$ . C’est une fonction affine, dont le coefficient directeur est positif. On en déduit le tableau de variations suivant.

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Fonctions carré, cube, racine carrée, inverse

Propriété

La fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle admet un minimum en $0$ , qui vaut $0$ .
La fonction cube est croissante sur $R$ . Elle n’a ni minimum, ni maximum sur $R$ .
La fonction inverse est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et aussi décroissante sur $] 0; + \infty [$ . Elle n’a ni minimum, ni maximum sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ .
La fonction racine carrée est croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle admet un minimum en $0$ , qui vaut $0$ .

Déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 2 x^{3} - 4$ .
Même question pour la fonction $g$ définie sur $[0; + \infty [$ par $g (x) = - 3 x + 1$ .

Soient $x, y \in R$ tels que $x \leq y$ . Par croissance de la fonction cube, on a $x^{3} \leq y^{3}$ . Donc $2 x^{3} \leq 2 y^{3}$ et $2 x^{3} - 4 \leq 2 y^{3} - 4$ . Nous venons de montrer que $f (x) \leq f (y)$ : la fonction $f$ est croissante sur $R$ .
Soient $x, y \in [0; + \infty [$ tels que $x \leq y$ . Par croissance de la fonction racine carrée, on a $x \leq y$ . Donc $- 3 x \geq - 3 y$ et $- 3 x + 1 \geq - 3 y + 1$ . Nous venons de montrer que $g (x) \geq g (y)$ : la fonction $g$ est décroissante sur $[0; + \infty [$ .

L’objectif de cet exercice est de démontrer que la fonction racine carrée est croissante. Soient $x$ et $y$ deux nombres positifs tels que $x \leq y$ . Il s’agit de montrer que $x \leq y$ .

Démontrer que $y - x = \frac{y - x}{x + y}$ .
Que peut-on dire du signe de $y - x$ ? Et du signe de $x + y$ ?
Montrer que $y - x \geq 0$ , puis conclure.

$\frac{y - x}{x + y} = \frac{y - x}{x + y} \times \frac{x - y}{x - y} = \frac{( y - x ) ( x - y )}{( x + y ) ( x - y )}$ On reconnaît une identité remarquable au dénominateur : $(x + y) (x - y) = (x)^{2} - (y)^{2} = x - y = - (y - x)$ Donc, ce quotient est égal à $\frac{( y - x ) ( x - y )}{- ( y - x )} = - (x - y) = y - x$
Comme $y \geq x$ , $y - x \geq 0$ . De plus, la racine carrée d’un nombre positif est positive, donc $x + y \geq 0$ .
Le numérateur et le dénominateur du quotient $\frac{y - x}{x + y}$ sont positifs d’après la question précédente, donc il est positif également. Or, cette fraction est égale à $y - x$ : on trouve bien l’inégalité demandée. Pour conclure, $y - x \geq 0 ⟺ x \leq y$ donc la fonction racine carrée est bien croissante.