Droites et cercles

Utiliser les outils géométriques usuels : règle, règle graduée, équerre et compas.
Reconnaître et utiliser la notion de perpendicularité.
Reconnaître et utiliser la notion de parallélisme.
Connaître les définitions d’un cercle, d’un disque, d’un rayon, d’un diamètre, d’une corde.
Comprendre la définition d’un cercle et celle d’un disque sous la forme d’ensembles de points.
Résoudre des problèmes mettant en jeu des distances à un point.

Droites

Droites perpendiculaires

Définitions

Si $A$ et $B$ sont deux points distincts, la droite $(A B)$ est l’ensemble de tous les points alignés avec $A$ et $B$ .
Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés lorsque l’on peut tracer une ligne droite passant par ces trois points.
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un seul point, appelé point d’intersection.

Avec la règle, tracer la droite $(A B)$ . Puis, tracer une droite $(d)$ sécante avec $(A B)$ . Appeler $I$ le point d’intersection.

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Définition

Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et forment un angle droit. On note cela avec le symbole $⊥$ .

Avec la règle, tracer la droite $(A B)$ . Ensuite, avec l’équerre, tracer une droite $(d)$ perpendiculaire à $(A B)$ . Appeler $I$ le point d’intersection.

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Droites parallèles

Définition

Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes. On note cela avec le symbole $/ /$ .

Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ n’ont aucun point commun. Donc $(d_{1}) / / (d_{2})$ .

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Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont confondues. Donc $(d_{1}) / / (d_{2})$ .

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Théorèmes

Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Je sais $(d_{1}) / / (d_{3})$ et $(d_{2}) / / (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{1}) / / (d_{2})$ .
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Je sais $(d_{1}) ⊥ (d_{3})$ et $(d_{2}) ⊥ (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{1}) / / (d_{2})$ .
Si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre.

Je sais $(d_{1}) / / (d_{2})$ et $(d_{1}) ⊥ (d_{3})$ . J’en conclus $(d_{2}) ⊥ (d_{3})$ .

Sachant que $(d_{2}) / / (d_{3})$ et que $(d_{4}) ⊥ (d_{2})$ , montrer que $(d_{3}) ⊥ (d_{4})$ .

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On sait que $(d_{2}) / / (d_{3})$ et que $(d_{2}) ⊥ (d_{4})$ . Or, si deux droites sont parallèles, et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. Donc, $(d_{3}) ⊥ (d_{4})$ .

Cercles

Distance entre deux points

Définition

La distance entre deux points $A$ et $B$ est la longueur du segment $[A B]$ . On note celle-ci $A B$ .

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Tracer le segment $[A B]$ , puis compléter : $A B$ = cm.
Placer le point $C$ au milieu du segment $[A B]$ , puis compléter : $A C$ = cm.

$A B = 2, 24$ cm (approximativement).
$A C = 1, 12$ cm (approximativement).

Distance entre plusieurs points

Définitions

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à la même distance $r$ du point $O$ .
Le disque de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à une distance du point $O$ inférieure ou égale à $r$ .

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Tracer l’ensemble des points situés à une distance de $2$ cm du point $O$ . Quelle est la figure tracée ?
Hachurer l’intérieur de la figure tracée à la question précédente. Quelle est la figure hachurée ?

Il s’agit du cercle de centre $O$ et de rayon $2$ cm.
Il s’agit du disque de centre $O$ et de rayon $2$ cm.

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Quadrilatères particuliers

Définitions

Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Parallélogrammes

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Sachant que $(A D) / / (BC)$ et $(A B) / / (D C)$ , justifier que le quadrilatère $A BC D$ ci-dessous est un parallélogramme.

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Les côtés opposés du quadrilatère $A BC D$ sont $(A D)$ ; $(BC)$ et $(A B)$ ; $(D C)$ . Ceux-ci sont parallèles, donc $A BC D$ est un parallélogramme.

Losanges

Définition

Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments.
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Le quadrilatère $M A R K$ est un losange.

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On a $M A = M K = R A = R K$ .
Ses quatre côtés sont $[M A]$ , $[A R]$ , $[R K]$ et $[K M]$ .
Ses quatre sommets sont les points $M$ , $A$ , $R$ et $K$ .
Ses deux diagonales sont $[MR]$ et $[A K]$ .

Construire un losange $LU NE$ de $6$ cm de côté, et tel que $E U = 5$ cm.

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Rectangles

Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

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En utilisant les points ci-dessous, tracer un rectangle.

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Propriété

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont deux à deux parallèles et de même longueur. En particulier, les rectangles sont des parallélogrammes.