Nombres décimaux

Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux.
Connaître diverses désignations des fractions : orales, écrites et décompositions additives et multiplicatives.
Connaître et utiliser quelques fractions simples comme opérateur de partage en faisant le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique.
Utiliser des fractions pour rendre compte de partages de grandeurs ou de mesures de grandeurs. Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.
Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs. Comparer deux fractions de même dénominateur.
Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$ .

Fractions

Fraction partage

Définition

Lorsqu’on partage une unité en parts égales et qu’on prend une ou plusieurs de ces parts, on obtient une fraction de l’unité.

La bande ci-dessous représente une unité. Elle est partagée en cinq parts de mêmes dimensions.

tikzpicture-1

Chaque part représente un cinquième de la bande. On le note $\frac{1}{5}$ .

Compléter les phrases suivantes.

La fraction représentée par le partage de la bande ci-dessous est , qui se lit .
La fraction représentée par le partage du disque ci-dessous est , qui se lit .

La fraction représentée par le partage de la bande ci-dessous est $\frac{3}{4}$ , qui se lit trois quarts.
La fraction représentée par le partage du disque ci-dessous est $\frac{1}{2}$ , qui se lit un demi.

Partager la bande et colorier les parts qui correspondent à la fraction donnée. Puis, compléter les phrases.

$\frac{3}{5}$ :

Ici, on a colorié de la barre, soit . On a donc .
Quatre huitièmes :

Ici, on a colorié de la barre, soit . On a donc .
Sept sixièmes :

Ici, on a colorié de la barre, soit . On a donc .

Ici, on a colorié $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ de la barre, soit $\frac{3}{5}$ . On a donc $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ .
Ici, on a colorié $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ de la barre, soit $\frac{4}{8}$ . On a donc $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ .
Ici, on a colorié $1 + \frac{1}{6}$ de la barre, soit $\frac{7}{6}$ . On a donc $1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$ .

Définition

Une fraction s’écrit sous la forme suivante :

tikzpicture-10

où $a$ et $b$ désignent deux nombres entiers avec $b$ différent de zéro.

Compléter le tableau suivant.

Fraction	Lecture	Partage correspondant
$\frac{9}{4}$	Neuf quarts	On a partagé une unité en $9$ parts égales et on a pris $4$ parts.
$\frac{5}{4}$	Cinq quarts	On a partagé une unité en parts égales et on a pris parts.
$\frac{2}{3}$	Deux tiers	On a partagé une unité en parts égales et on a pris parts.

Fraction	Lecture	Partage correspondant
$\frac{9}{4}$	Neuf quarts	On a partagé une unité en $9$ parts égales et on a pris $4$ parts.
$\frac{5}{4}$	Cinq quarts	On a partagé une unité en $4$ parts égales et on a pris $5$ parts.
$\frac{2}{3}$	Deux tiers	On a partagé une unité en $3$ parts égales et on a pris $2$ parts.

Propriété

Si le numérateur d’une fraction $\frac{a}{b}$ est inférieur à son dénominateur, alors cette fraction est inférieure à l’unité (on peut noter $\frac{a}{b} < 1$ ).
Si le numérateur d’une fraction est supérieur à son dénominateur, alors cette fraction est supérieure à l’unité (on peut noter $\frac{a}{b} > 1$ ).
Si le numérateur d’une fraction est égal à son dénominateur, alors cette fraction est égale à l’unité (on peut noter $\frac{a}{b} = 1$ ).

Donner deux exemples de fractions inférieures à l’unité.
Donner deux exemples de fractions supérieures à l’unité.
Donner deux exemples de fractions égales à l’unité.

$\frac{3}{6}$ et $\frac{1}{100}$ .
$\frac{9}{8}$ et $\frac{91}{44}$ .
$\frac{20}{20}$ et $\frac{101}{101}$ .

Fractions décimales

Définition

Lorsque l’on partage l’unité en dix parts égales, on obtient dix dixièmes.
Lorsque l’on partage chaque dixième de l’unité en dix parts égales, l’unité est partagée en cent parts égales, et on obtient cent centièmes.
En poursuivant ainsi les partages en dix, on obtient des millièmes, des dix-millièmes, …
Une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, … est appelée fraction décimale.

tikzpicture-11

Ainsi, on a les égalités suivantes :

$\frac{1}{10} = \frac{10}{100} = \frac{100}{1000}$
$\frac{1}{100} = \frac{10}{1000}$
$1 = \frac{10}{10} = \frac{100}{100} = \frac{1000}{1000}$

Propriété

Toute fraction décimale peut s’écrire comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à $1$ . De plus, une fraction décimale peut se décomposer en unités, dixièmes, centièmes, millièmes, …

Compléter pour écrire $\frac{25381}{1000}$ comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction décimale inférieure à $1$ , puis pour la décomposer en fonction de ses unités, dixièmes, centièmes et millièmes. $\frac{25381}{1000} = + = + 10 + 100 + 1000$

$\frac{25381}{1000} = 25 + \frac{381}{1000} = 25 + \frac{3}{10} + \frac{8}{100} + \frac{1}{1000}$

Nombres décimaux

Définitions

Définition

On appelle nombre décimal un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.

Justifier que $25, 381$ est bien un nombre décimal.

$25, 381 = \frac{25381}{1000}$ On a écrit $25, 381$ sous la forme d’une fraction décimale, donc il s’agit bien d’un nombre décimal.

Propriété

Tout nombre décimal peut s’écrire comme la somme d’un nombre entier, appelé sa partie entière, et d’une fraction décimale inférieure à $1$ , appelée sa partie décimale.
Un nombre décimal admet plusieurs écritures : une écriture fractionnaire (qui correspond à sa fraction décimale), mais aussi une écriture décimale (avec une éventuelle virgule séparant sa partie entière de sa partie décimale).

Compléter le tableau suivant.

Écriture fractionnaire	Écriture décimale	Partie entière	Partie décimale
$\frac{9803}{100}$	$98, 03$
$\frac{4056}{1000}$	$4, 056$

Écriture fractionnaire	Écriture décimale	Partie entière	Partie décimale
$\frac{9803}{100}$	$98, 03$	$98$	$0, 03$
$\frac{4056}{1000}$	$4, 056$	$4$	$0, 056$

Compléter le tableau ci-dessous pour le nombre décimal $23, 07$ .

Partie entière Partie décimale

… Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes …
Décomposer ce nombre en fonction de sa partie entière et de sa partie décimale.

Partie entière	Partie décimale
…	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes	…

Partie entière Partie décimale

… Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes …

$2$ $3$ $0$ $7$
$23, 07 = 23 + 0, 07$ .

Partie entière	Partie décimale
…	Dizaines	Unités	Dixièmes	Centièmes	Millièmes	…
	$2$	$3$	$0$	$7$

Remarque

Dans une écriture décimale, la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre.

Zéros inutiles

Définition

Les zéros situés à gauche de la partie entière et à droite de la partie décimale d’un nombre décimal sont inutiles. Ils peuvent être ajoutés ou supprimés sans changer la valeur du nombre.

Rayer les zéros inutiles des nombres suivants.

$09, 207000$
$0, 000300$
$900, 070$
$04, 100000$

09,207 ~~000~~
0,000 300
900,070
4,1~~00 000~~

Comparaison de nombres décimaux

Définition

Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur, que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.
L’abscisse d’un point d’une demi-droite graduée est la distance entre l’origine de la demi-droite et ce point.

tikzpicture-12

Donner deux écritures différentes pour l’abscisse du point $A$ .

tikzpicture-13

$4, 1$ .
$4 + \frac{1}{10}$ .

Définition

Comparer deux nombres, c’est trouver le plus grand (ou le plus petit) ou dire s’ils sont égaux. Lorsque l’on parcourt une droite graduée dans le sens de la flèche, le plus petit des deux nombres est celui que l’on rencontre en premier.

Trouver les nombres manquants, puis compléter les phrases ci-dessous.

tikzpicture-14

est inférieur à , on note cela .
est supérieur à , on note cela .

tikzpicture-15

$6, 1$ est inférieur à $9$ , on note cela $6, 1 < 9$ .
$9$ est supérieur à $6, 1$ , on note cela $6, 1 > 9$ .

Définition

Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand.
Intercaler un nombre entre deux autres, c’est trouver un nombre compris entre les deux.

Propriété

Il est toujours possible d’intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux différents.

Encadrer $3, 14$ avec la précision demandée.

Précision à l’unité.
Précision au dixième.

$3 < 3, 14 < 4$ .
$3, 1 < 3, 14 < 3, 2$ .

Intercaler un nombre entre les nombres donnés ci-dessous.

$9 < < 10$ .
$5, 1 < < 5, 3$ .
$1, 12 < < 1, 13$ .

$9 < 9, 5 < 10$ .
$5, 1 < 5, 2 < 5, 3$ .
$1, 12 < 1, 125 < 1, 13$ .

Méthode

Une demi-droite graduée permet de déterminer des valeurs approchées et l’arrondi d’un nombre.

tikzpicture-16

$2, 437$ est compris entre $2, 4$ et $2, 5$ : on dit que $2, 4$ et $2, 5$ sont des valeurs approchées au dixième de $2, 437$ .
$2, 437$ est plus proche de $2, 4$ que de $2, 5$ : on dit que $2, 4$ est l’arrondi au dixième de $2, 437$ .
De même, $2, 43$ et $2, 44$ sont des valeurs approchées au centième de $2, 437$ .
$2, 44$ est l’arrondi au centième de $2, 437$ .