Proportionnalité

Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations de proportionnalité.
Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité.
Appliquer un pourcentage.
Reproduire une figure en respectant une échelle donnée.
Agrandir ou réduire une figure.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Pour chaque situation ci-dessous, nommer les deux grandeurs en précisant leurs unités s’il y en a, puis dire si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant.

Marie achète $3$ kg de pommes à $2, 40$ € le kilogramme. Elle doit payer $7, 20$ €.
1. Grandeur 1 :
2. Grandeur 2 :
3. Véracité de l’affirmation :
Dimitri pesait $7$ kg à $6$ mois ; il pèsera donc $14$ kg à $1$ an et $28$ kg à $2$ ans.
1. Grandeur 1 :
2. Grandeur 2 :
3. Véracité de l’affirmation :
Maya a fait $1$ tour de terrain en $4$ min. Si elle court à la même vitesse, elle fera $3$ tours en $12$ min.
1. Grandeur 1 :
2. Grandeur 2 :
3. Véracité de l’affirmation :

1. Grandeur 1 : Le poids (en kg).
2. Grandeur 2 : Le prix (en €).
3. $1$ kg de pommes coûte $2, 40$ €. Donc en situation de proportionnalité, $3$ kg coûteraient trois fois plus, c’est à dire $3 \times 2, 40$ €, donc $7, 20$ €. C’est bien le cas ici, donc nous sommes en situation de proportionnalité.
1. Grandeur 1 : Le poids (en kg).
2. Grandeur 2 : Le temps (en mois ou en années).
3. C’est faux car le poids d’un être humain n’est pas proportionnel à son âge (et heureusement !) : si c’était le cas, Dimitri pèsera $280$ kg à $20$ ans.
1. Grandeur 1 : Le nombre de tours de terrain.
2. Grandeur 2 : Le temps (en min).
3. Maya fait $1$ tour de terrain en $4$ min. Donc en situation de proportionnalité, Maya ferait mettrait trois fois plus de temps, c’est à dire $3 \times 4$ min, donc $12$ min. C’est bien le cas ici, donc nous sommes en situation de proportionnalité.

Définition

On peut organiser les données d’une situation de proportionnalité dans un tableau simple. Un tel tableau s’appelle un tableau de proportionnalité.

À une station-essence, le gazole est vendu à $1, 34$ € le litre. Younes fait un plein de $30$ L et paye $40, 20$ €. Léa va seulement prendre $10$ L, et elle paye $13, 40$ €.

Organiser ces données dans un tableau simple.
Est-ce un tableau de proportionnalité ?

Volume de gazole (en L) $1$ $10$ $30$

Prix (en €) $1, 34$ $13, 40$ $40, 20$
Divisons les nombres situés à la seconde ligne par ceux situés à la première ligne. $\frac{1 , 34}{1} = \frac{13 , 40}{10} = \frac{40 , 20}{30} = 1, 34$ Ces quotients sont tous égaux (à $1, 34$ €/L), donc ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Volume de gazole (en L)	$1$	$10$	$30$
Prix (en €)	$1, 34$	$13, 40$	$40, 20$

Calculer une quatrième proportionnelle

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est un nombre manquant à calculer. On peut la calculer dès lors que l’on connaît au moins trois valeurs.

Lien entre les colonnes

Méthode

Pour obtenir les nombres d’une colonne d’un tableau de proportionnalité, on peut :

Ajouter ou soustraire les nombres de deux autres colonnes.
Multiplier ou diviser les nombres d’une autre colonne par un même nombre.

Au restaurant scolaire, tous les repas sont au même prix. Sachant que $2$ repas coûtent $8, 60$ € et que $3$ repas coûtent $12, 90$ €, compléter le tableau suivant.

Nombre de repas
Prix (en €)

Nombre de repas	$1$	$2$	$3$	$5$
Prix (en €)	$4, 30$	$8, 60$	$12, 90$	$21, 50$

Mathis possède une collection de livres ayant tous la même épaisseur. Une pile de $12$ livres a une hauteur de $30$ cm. Compléter le tableau suivant.

Nombre de livres
Hauteur de la pile (en cm)

Nombre de livres	$1$	$3$	$12$	$24$
Hauteur de la pile (en cm)	$2, 5$	$7, 5$	$30$	$60$

Passage à l’unité

Méthode

Pour traiter une situation de proportionnalité, il est parfois plus judicieux de revenir à l’unité.

Avec $4$ L d’une peinture, on peut recouvrir $25$ m². Remplir la deuxième colonne de ce tableau, puis s’en servir pour remplir la troisième et la quatrième.

Volume de peinture (en L)
Surface peinte (en m²)

Volume de peinture (en L)	$4$	$1$	$11$	$13$
Surface peinte (en m²)	$26$	$6$	$66$	$78$

Coefficient de proportionnalité

Méthode

Dans un tableau de proportionnalité, on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant ou en divisant par le coefficient de proportionnalité.

Une usine fabrique des sacs. Pour en fabriquer $10$ , elle a besoin de $21$ m² de tissu.

Quel est le nombre qui, multiplié par $10$ , donne $21$ ?
Compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous correspondant à la situation.

Nombre de sacs

Surface de tissu (en m²)

Nombre de sacs
Surface de tissu (en m²)

Le nombre qui, multiplié par $10$ , donne $21$ , est $\frac{21}{10} = 2, 1$ .
Nombre de sacs $10$ $26, 2$ $99$

Surface de tissu (en m²) $21$ $55$ $207, 9$

Nombre de sacs	$10$	$26, 2$	$99$
Surface de tissu (en m²)	$21$	$55$	$207, 9$

Utiliser une échelle

Définitions

Dans une représentation dite à l’échelle, les longueurs représentées et les longueurs réelles sont proportionnelles.
L’échelle est le coefficient de proportionnalité. Elle est égale à $\frac{longueur repr e ˊ sent e ˊ e}{longueur r e ˊ elle}$ (où les longueurs sont exprimées dans la même unité).
Si l’échelle est inférieure à $1$ , la représentation est une réduction. Sinon, c’est un agrandissement.

Sur la carte ci-contre, $1$ km est représenté par $1$ cm.

Quelle est l’échelle de cette carte ?
Calculer la distance approximative séparant Caen de Mondeville.

tikzpicture-1

L’échelle de cette carte est $\frac{1}{100000}$ : c’est une réduction.
Il y a environ $3, 4$ cm entre ces deux villes sur la carte. Donc, dans la réalité, il y a environ $3, 4$ km entre ces deux villes.

Appliquer un pourcentage

Définition

Un pourcentage est une proportion par rapport à $100$ . Il traduit une situation de proportionnalité.

Sur un pot de $250$ g de crème fraiche est inscrit $15$ % de matière grasse. Quelle est la masse de matière grasse, en grammes, contenue dans ce pot ?

Il s’agit de compléter le tableau de proportionnalité suivant.

Masse de crème (en g)	$100$	$250$
Masse de matière grasse (en g)	$15$	?

La case inconnue est égale à $250 \times \frac{15}{100} = 37, 5$ .

Propriété

Pour calculer $t$ % d’une quantité, on multiplie celle-ci par $\frac{t}{100}$ .

Dans un magasin, un pull qui coûte $30$ € est soldé à $20$ %.

Combien représentent $20$ % de $30$ € ?
Quel est le nouveau prix de ce pull ?

On calcule. $30 \times \frac{20}{100} = 6$ Donc $20$ % de $30$ € font $6$ €.
Encore une fois, on calcule. $30 - 6 = 24$ Donc le nouveau prix de ce pull est $24$ €.