Théorèmes de Pythagore et de Thalès

Utiliser la racine carrée d’un nombre positif en lien avec des situations géométriques (théorème de Pythagore ; agrandissement, réduction et aires).
Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs des deux autres côtés.
Démontrer qu’un triangle est un triangle rectangle à partir de la connaissance des longueurs de ses côtés.
Dans une configuration de Thalès, savoir calculer une longueur manquante en utilisant la proportionnalité.
Démontrer le parallélisme de deux droites en s’appuyant sur des rapports de longueurs.

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hyopthénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Méthode

Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore.

Le triangle $A BC$ ci-contre est rectangle en $A$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$B C^{2} = B A^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ Donc $BC = 5 cm \approx 2, 24 cm$ .

Le triangle $I J K$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$I J^{2} 5^{2} 5^{2} - 3^{2} 16 = I K^{2} + K J^{2} = 3^{2} + K J^{2} = K J^{2} = K J^{2}$ Donc $K J = 16 cm = 4 cm$ .

On considère le triangle $J K L$ ci-contre. Calculer une valeur approchée de $J L$ .

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Le triangle $J K L$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore. $J L^{2} J L^{2} J L^{2} J L^{2} = J K^{2} + K L^{2} = 3^{2} + 1, 4^{2} = 9 + 1, 96 = 10, 96$ Donc $J L = 10, 96 cm \approx 3, 31 cm$ .

Montrer que des droites sont perpendiculaires

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Méthode

Pour montrer qu’un triangle est ou n’est pas rectangle, on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

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D’une part :	D’autre part :
$= = K I^{2} 14, 2^{2} 201, 64$	$= = I S^{2} + S K^{2} 11, 3 6^{2} + 8, 5 2^{2} 201, 64$

$K I^{2} = I S^{2} + S K^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $S K I$ est rectangle.

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D’une part :	D’autre part :
$= = M N^{2} 2, 4^{2} 5, 76$	$= = N O^{2} + O M^{2} 1, 6^{2} + 1, 7^{2} 5, 45$

$M N^{2} \neq = N O^{2} + O M^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $MNO$ n’est pas rectangle.

On considère le triangle $D EF$ ci-contre. Est-il rectangle ?

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D’une part :	D’autre part :
$[t] = = F E^{2} 5^{2} 25$	$[t] = = F D^{2} + D E^{2} 3^{2} + 4^{2} 25$

$F E^{2} = F D^{2} + D E^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $D EF$ est rectangle.

Théorème de Thalès

Calculer une longueur

Théorème de Thalès

Soient un triangle $A BC$ et deux points $D \in (A B)$ et $E \in (A C)$ . Si $(D E) / / (BC)$ , alors $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$ .

Méthode

En présence d’un triangle et d’une droite parallèle à un côté, on peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur.

On considère le triangle ci-contre. Calculons les longueurs $CN$ et $C A$ . On sait :

$C$ , $M$ et $A$ sont alignés.
$C$ , $N$ et $B$ sont alignés.
$(MN) / / (A B)$ .

On applique le théorème de Thalès. $\frac{CM}{C A} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{A B} ⟹ \frac{4 , 8}{C A} = \frac{CN}{5} = \frac{3 , 2}{4}$ Ainsi :

$\frac{CN}{5} = \frac{3 , 2}{4}$ , donc $CN = 5 \times \frac{3 , 2}{4} = 4$ cm.
$\frac{4 , 8}{C A} = \frac{3 , 2}{4}$ , c’est à dire $\frac{C A}{4 , 8} = \frac{4}{3 , 2}$ , donc $C A = 4, 8 \times \frac{4}{3 , 2} = 6$ cm.

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On considère la figure ci-contre où $(A B) / / (D E)$ . Calculer $A C$ .

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On sait :

$A$ , $C$ et $E$ sont alignés.
$B$ , $C$ et $D$ sont alignés.
$(A B) / / (D E)$ .

On applique le théorème de Thalès. $\frac{CE}{C A} = \frac{C D}{CB} = \frac{D E}{A B} ⟹ \frac{6}{C A} = \frac{3}{5} = \frac{D E}{A B}$ Ainsi : $\frac{6}{C A} = \frac{3}{5}, donc C A = 6 \times \frac{5}{3} = 10 cm.$

Montrer que des droites sont parallèles

Réciproque du théorème de Thalès

Soient un triangle $A BC$ et deux points $D \in [A B]$ et $E \in [A C]$ . Si $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ , alors $(D E) / / (BC)$ .

Méthode

Pour montrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles, on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

On se demande si $(G H)$ et $(F D)$ sont parallèles. On sait :

$E$ , $G$ et $F$ sont alignés dans le même ordre.
$E$ , $H$ et $D$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{EG}{EF} = 0, 6 et \frac{E H}{E D} = 0, 6$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(G H)$ et $(F D)$ sont parallèles.

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On se demande si $(A B)$ et $(O I)$ sont parallèles. On sait :

$A$ , $L$ et $I$ sont alignés dans le même ordre.
$B$ , $L$ et $O$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{L A}{L I} = 0, 4 et \frac{L B}{L O} = 0, 5$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(G H)$ et $(F D)$ ne sont pas parallèles.

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On considère la figure ci-contre. Les droites $(BM)$ et $(PC)$ sont-elles parallèles ?

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On sait :

$B$ , $A$ et $M$ sont alignés dans le même ordre.
$C$ , $A$ et $P$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{7} \approx 0, 57 et \frac{A P}{A C} = \frac{6}{8} = 0, 75$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(BM)$ et $(PC)$ ne sont pas parallèles.