Transformations du plan

Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure.
Connaître l’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les angles et les aires.
Utiliser des transformations pour calculer des grandeurs géométriques.
Faire le lien entre la proportionnalité et certaines configurations ou transformations géométriques (agrandissement réduction, triangles semblables, homothéties).
Mener des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations.

Symétries

Symétrie axiale

Définition

Une symétrie axiale est une transformation géométrique du plan qui modélise un effet miroir par rapport à une droite $(d)$ .
Le résultat est appelé symétrique par rapport à $(d)$ .
La droite $(d)$ est l’axe de symétrie de cette transformation.

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Propriété

Soit $(d)$ une droite.

Si un point $A$ n’appartient pas à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est le point $A^{'}$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[A A^{'}]$ .
Si un point $B$ appartient à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.

Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite, on construit le symétrique de chacun de ses points par rapport à cette droite.

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Pour chacune des figures ci-dessous, construire son symétrique par rapport à la droite $(d)$ .

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Symétrie centrale

Définition

Une symétrie centrale est une transformation géométrique du plan qui modélise un demi-tour par rapport à un point $O$ .
Le résultat est appelé symétrique par rapport à $O$ .
Le point $O$ est le centre de symétrie de cette transformation.

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Propriété

Soit $O$ un point.

Le symétrique par rapport à $O$ d’un point $A$ distinct de $O$ est le point $A^{'}$ tel que $O$ est le milieu de $[A A^{'}]$ .
Le symétrique par rapport à $O$ de $O$ est lui-même.

Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un point, on construit le symétrique de chacun des points qui la composent.

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Pour chacune des figures ci-dessous, construire son symétrique par rapport au point $O$ .

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Translations

Définition

Une translation est une transformation géométrique du plan qui modélise un glissement par rapport à une direction, un sens et une longueur.
Le résultat est appelé translaté.
On peut schématiser ce glissement par une flèche, que l’on appelle vecteur.

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Pour chacune des figures ci-dessous, construire son translaté par rapport au vecteur $A B$ .

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Rotations

Définition

Une rotation est une transformation géométrique du plan qui modélise un tour d’un certain angle par rapport à un point $O$ .
Le point $O$ est le centre de rotation de cette transformation.

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Ainsi, une rotation de $180$ ° n’est rien de plus qu’une symétrie centrale.

On considère le triangle rectangle $A BC$ ci-dessous. Construire les images de $A BC$ par les rotations de centre $A$ , et d’angles $60$ °, $120$ °, $180$ °, $240$ ° et $300$ ° dans le sens anti-horaire.

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Le motif obtenu s’appelle une rosace.

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Propriété

Les symétries, les translations et les rotations conservent les alignements, les longueurs, les angles, les périmètres et les aires.

Homothéties

Définition

Une homothétie est une transformation géométrique du plan qui modélise un glissement par rapport à un point $O$ suivi d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport $k$ .
Le point $O$ est le centre d’homothétie de cette transformation.

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Le petit Homer est un réduction du grand Homer de rapport $k = 0, 5$ . On a $O A^{'} = 0, 5 \times O A$ .

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Ici, le petit Homer est retourné par rapport au point $O$ . Cela se produit lorsque $k < 0$ .

Ainsi, une homothétie de rapport $- 1$ n’est rien de plus qu’une symétrie centrale.

On considère le triangle rectangle $A BC$ ci-dessous. Construire les images de $A BC$ par les homothéties de centre $O$ et de rapport $3$ et $- 0, 5$ .

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Propriété

L’homothétie conserve les alignements et les angles.
Par une homothétie de rapport $k$ , les longueurs sont multipliées par $k$ (sans tenir compte du signe) et les aires par $k^{2}$ .