Nombres relatifs

Connaître la notion d’opposé d’un nombre relatif.
Connaître les règles de calcul sur les nombres relatifs.
Savoir calculer avec des nombres relatifs.

Addition, soustraction

Addition

Définition

Si deux nombres relatifs ont le même signe, alors leur somme a :

le même signe que les deux nombres ;
pour distance à zéro, la somme de leurs distances à zéro.

Calculer les sommes suivantes.

$2, 3 + 5, 6 =$
$- 3 + (- 5) =$
$- 6, 2 + (- 3, 8) + (- 2) =$
$- 5, 5 + (- 1, 5) + (- 12) + (- 1) =$

$2, 3 + 5, 6 = 7, 9$
$- 3 + (- 5) = - 8$
$- 6, 2 + (- 3, 8) + (- 2) = - 12$
$- 5, 5 + (- 1, 5) + (- 12) + (- 1) = - 20$

Définition

Si deux nombres relatifs ont des signes différents, alors leur somme a :

le signe du nombre qui a la plus grande différence à zéro ;
pour distance à zéro, la différence de leurs distances à zéro.

Calculer les sommes suivantes.

$3 + (- 8, 4) =$
$- 5, 2 + 7, 9 =$
$5, 6 + (- 3, 4) + 1, 8 =$
$- 2 + 8, 1 + (- 1, 1) + 1 =$

$3 + (- 8, 4) = - 5, 4$
$- 5, 2 + 7, 9 = 2, 7$
$5, 6 + (- 3, 4) + 1, 8 = 4$
$- 2 + 8, 1 + (- 1, 1) + 1 = 6$

Propriété

Pour calculer une somme de nombres relatifs, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper les termes différemment.

$3, 2 + 5, 4 = 8, 6$ et $5, 4 + 3, 2 = 8, 6$ .
$1, 95 + (- 1, 05) = 0, 9$ et $- 1, 05 + 1, 95 = 0, 9$ .

Calculer $2, 3 + 4, 9 + 1, 7$ .

$2, 3 + 4, 9 + 1, 7 = 2, 3 + 1, 7 + 4, 9 = 4 + 4, 9 = 8, 9$

Calculer $2, 1 + 5, 98 + (- 1, 1) + 4, 02$ .

$1, 5 \times 5, 1 \times 2 = 1, 5 \times 2 \times 5, 1 = 3 \times 5, 1 = 15, 3$

Soustraction

Méthode

Pour soustraire un nombre relatif à un autre, on y ajoute son opposé.

Calculer les sommes suivantes.

$- 5 - 2 =$
$3 - (- 6, 2) =$
$- 4, 5 - 12, 1 =$
$- 3, 5 - (- 1, 2) - 1 =$

$- 5 - 2 = - 7$
$3 - (- 6, 2) = 9, 2$
$- 4, 5 - 12, 1 = 16, 6$
$- 3, 5 - (- 1, 2) - 1 = - 3, 3$

Multiplication, division

Multiplication

Définition

Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on applique la règle des signes :

le produit de deux nombres de même signe est positif ;
le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

$3 \times 4 = 12$
$(- 3) \times (- 4) = 12$
$3 \times (- 4) = - 12$
$(- 3) \times 4 = - 12$

Calculer les produits suivants.

$(- 5) \times (- 3) =$
$(- 6) \times 4 =$
$8 \times (- 7) =$
$(- 9) \times (- 2) =$

$(- 5) \times (- 3) = 15$
$(- 6) \times 4 = - 24$
$8 \times (- 7) = - 56$
$(- 9) \times (- 2) = 18$

Propriété

Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ;
négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

$(- 2) \times (- 3) \times (- 4) = - 24$ ( $3$ facteurs négatifs)
$(- 2) \times (- 3) \times 4 = 24$ ( $2$ facteurs négatifs)

Calculer les produits suivants.

$(- 2) \times (- 5) \times 3 =$
$(- 6) \times (- 4) \times (- 1) =$
$(- 10) \times 2 \times (- 3) \times 5 =$
$(- 4) \times (- 2) \times (- 3) \times (- 5) =$

$(- 2) \times (- 5) \times 3 = 30$
$(- 6) \times (- 4) \times (- 1) = - 24$
$(- 10) \times 2 \times (- 3) \times 5 = 300$
$(- 4) \times (- 2) \times (- 3) \times (- 5) = 120$

Division

Rappel

On appelle quotient le résultat d’une division. Pour $a$ et $b$ deux nombres relatifs ( $b \neq = 0$ ), on note $a \div b$ ou $\frac{a}{b}$ le quotient de $a$ par $b$ .

Définition

Pour diviser deux nombres relatifs, on divise leurs distances à zéro et on applique la même règle des signes que pour la multiplication :

le quotient de deux nombres de même signe est positif ;
le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

$(- 12) \div (- 3) = 4$
$12 \div (- 3) = - 4$

Calculer les quotients suivants.

$(- 18) \div 6 =$
$20 \div (- 5) =$
$(- 30) \div (- 6) =$
$(- 8) \div (- 2) =$

$(- 18) \div 6 = - 3$
$20 \div (- 5) = - 4$
$(- 30) \div (- 6) = 5$
$(- 8) \div (- 2) = 4$

Propriétés

Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs avec $b \neq = 0$ . Alors :

$\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$ .
$\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ .

Puissances

Définition

La puissance d’un nombre relatif est le produit de plusieurs facteurs égaux : $a^{n} = n fois a \times a \times \dots \times a$ où $a$ est la base et $n$ l’exposant.

$3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
$(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$

Calculer les puissances suivantes.

$(- 4)^{3} =$
$(- 5)^{2} =$
$7^{2} =$
$(- 2)^{4} =$

$(- 4)^{3} = - 64$
$(- 5)^{2} = 25$
$7^{2} = 49$
$(- 2)^{4} = 16$

Règle des signes

Propriétés

La puissance d’un nombre positif est toujours positive.
La puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.

Déterminer le signe des puissances suivantes sans les calculer.

$(- 8)^{3}$ :
$(- 5)^{6}$ :
$(- 2)^{11}$ :
$(- 7)^{4}$ :

$(- 8)^{3}$ : négatif.
$(- 5)^{6}$ : positif
$(- 2)^{11}$ : négatif.
$(- 7)^{4}$ : positif.

Propriétés

Soient $a$ un nombre relatif (non nul) et $m$ , $n$ deux entiers.

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ .
$a^{m} \div a^{n} = \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ .
$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ .

Simplifier les expressions suivantes.

$(- 2)^{3} \times (- 2)^{4}$ =
$\frac{( - 5 ) ^{7}}{( - 5 ) ^{3}}$ =
$((- 3)^{2})^{3}$ =
$\frac{( - 4 ) ^{6}}{( - 4 ) ^{9}}$ =

$(- 2)^{3} \times (- 2)^{4} = (- 2)^{7} = - 128$
$\frac{( - 5 ) ^{7}}{( - 5 ) ^{3}} = (- 5)^{4} = 625$
$((- 3)^{2})^{3} = (- 3)^{6} = 729$
$\frac{( - 4 ) ^{6}}{( - 4 ) ^{9}} = (- 4)^{- 3} = - \frac{1}{64}$