Proportionnalité

Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations de proportionnalité.
Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée : propriétés de linéarité (additive et multiplicative), passage à l’unité, coefficient de proportionnalité.
Appliquer un pourcentage.

Situations de proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Pour chaque situation ci-dessous, nommer les deux grandeurs en précisant leurs unités s’il y en a, puis dire si l’affirmation est vraie ou fausse en justifiant.

Marie achète $3$ kg de pommes à $2, 40$ € le kilogramme. Elle doit payer $7, 20$ €.
1. Grandeur 1 :
2. Grandeur 2 :
3. Véracité de l’affirmation :
Dimitri pesait $7$ kg à $6$ mois ; il pèsera donc $14$ kg à $1$ an et $28$ kg à $2$ ans.
1. Grandeur 1 :
2. Grandeur 2 :
3. Véracité de l’affirmation :

1. Grandeur 1 : Le poids (en kg).
2. Grandeur 2 : Le prix (en €).
3. $1$ kg de pommes coûte $2, 40$ €. Donc en situation de proportionnalité, $3$ kg coûteraient trois fois plus, c’est à dire $3 \times 2, 40$ €, donc $7, 20$ €. C’est bien le cas ici, donc nous sommes en situation de proportionnalité.
1. Grandeur 1 : Le poids (en kg).
2. Grandeur 2 : Le temps (en mois ou en années).
3. C’est faux car le poids d’un être humain n’est pas proportionnel à son âge (et heureusement !) : si c’était le cas, Dimitri pèsera $280$ kg à $20$ ans.

Une usine fabrique des sacs. Pour en fabriquer $10$ , elle a besoin de $21$ m² de tissu.

Quel est le nombre qui, multiplié par $10$ , donne $21$ ?
Compléter le tableau ci-dessous correspondant à la situation (éventuellement en arrondissant).

Nombre de sacs $10$ $99$

Surface de tissu (en m²) $21$ $55$

Nombre de sacs	$10$		$99$
Surface de tissu (en m²)	$21$	$55$

Le nombre qui, multiplié par $10$ , donne $21$ , est $\frac{21}{10} = 2, 1$ .
Nombre de sacs $10$ $26, 2$ $99$

Surface de tissu (en m²) $21$ $55$ $207, 9$

Nombre de sacs	$10$	$26, 2$	$99$
Surface de tissu (en m²)	$21$	$55$	$207, 9$

Tableaux de proportionnalité

Définition

On peut organiser les données d’une situation de proportionnalité dans un tableau simple. Un tel tableau s’appelle un tableau de proportionnalité.

À une station-essence, le gazole est vendu à $1, 34$ € le litre. Younes fait un plein de $30$ L et paye $40, 20$ €. Léa va seulement prendre $10$ L, et elle paye $13, 40$ €.

Organiser ces données dans un tableau simple.
Est-ce un tableau de proportionnalité ?

Volume de gazole (en L) $1$ $10$ $30$

Prix (en €) $1, 34$ $13, 40$ $40, 20$
Divisons les nombres situés à la seconde ligne par ceux situés à la première ligne. $\frac{1 , 34}{1} = \frac{13 , 40}{10} = \frac{40 , 20}{30} = 1, 34$ Ces quotients sont tous égaux (à $1, 34$ €/L), donc ce tableau est un tableau de proportionnalité.

Volume de gazole (en L)	$1$	$10$	$30$
Prix (en €)	$1, 34$	$13, 40$	$40, 20$

Représentation graphique

Propriété

Dans un repère, la représentation graphique de deux grandeurs proportionnelles est une droite passant par l’origine du repère.

On veut représenter graphiquement l’aire d’un carré en fonction de la longueur $c$ de son côté, donnée par la formule $Aire = c^{2}$ On calcule, à l’aide de cette formule, des aires pour différentes valeurs de $c$ et on construit le tableau suivant :

Longueur du côté $c$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
Aire	$0$	$0, 25$	$1$	$2, 25$	$4$	$6, 25$	$9$

Puis on place les points correspondants dans un repère avec le côté $c$ en abscisse et l’aire en ordonnée. On ne peut pas calculer les coordonnées de tous les points puisqu’il y en a une infinité. On se contente donc d’en placer quelques-uns, puis on les relie entre eux.

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Ici, on n’obtient pas une droite passant par l’origine, donc les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

On a relevé la distance d’arrêt sur route sèche d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

Vitesse (en km/h)	$30$	$50$	$90$
Distance d’arrêt (en m)	$13$	$25$	$81$

Représenter graphiquement cette situation dans un repère.
Les deux grandeurs sont-elles proportionnelles ? Justifier.

Les points ne sont pas alignés sur une droite passant par l’origine, donc les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

Produit en croix

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le produit des deux nombres situés sur une diagonale est égal au produit des deux nombres situés sur l’autre diagonale.

Lors d’une activité sportive, il est recommandé de surveiller son rythme cardiaque. Des recherches ont conduit à recommander une fréquence cardiaque maximale $f$ , exprimée en battements par minute (bpm), en fonction de l’âge $a$ , exprimé en années, selon la formule suivante : $f = 208 - 0, 75 \times a$

Compléter le tableau de suivant :

Âge (en années) $20$ $30$ $40$ $50$

Fréquence cardiaque maximale (en bpm)
La fréquence cardiaque maximale est-elle proportionnelle à l’âge ? Justifier.

Âge (en années)	$20$	$30$	$40$	$50$
Fréquence cardiaque maximale (en bpm)

Âge (en années) $20$ $30$ $40$ $50$

Fréquence cardiaque maximale (en bpm) $193$ $185, 5$ $178$ $170, 5$
La fréquence cardiaque maximale n’est pas proportionnelle à l’âge car si c’était le cas, le tableau serait de proportionnalité. Or, en calculant les produits en croix, on trouve : $20 \times 185, 5 = 3710 et 30 \times 193 = 5790$ Ces deux produits ne sont pas égaux, donc le tableau n’est pas de proportionnalité.

Âge (en années)	$20$	$30$	$40$	$50$
Fréquence cardiaque maximale (en bpm)	$193$	$185, 5$	$178$	$170, 5$

Méthode

On peut utiliser le produit en croix pour compléter un tableau de proportionnalité.

$98$ kg de blé donnent $70$ kg de farine. On se demande combien de kilogrammes de blé sont nécessaires pour obtenir $120$ kg de farine. On note $x$ la masse de blé recherchée et on organise les données dans le tableau de proportionnalité ci-dessous.

Masse de blé (en kg)	$98$	$x$
Masse de farine (en kg)	$70$	$120$

On calcule $x$ en utilisant le produit en croix : $x = \frac{98 \times 120}{70} = 168$ Il faut donc $168$ kg de blé pour obtenir $120$ kg de farine.

Une voiture consomme $5, 2$ L d’essence pour parcourir $100$ km. Combien de litres d’essence cette voiture consomme-t-elle pour parcourir $350$ km ?

On note $x$ la quantité d’essence recherchée et on organise les données dans le tableau de proportionnalité ci-dessous.

Distance parcourue (en km)	$100$	$350$
Quantité d’essence (en L)	$5, 2$	$x$

On calcule $x$ en utilisant le produit en croix : $x = \frac{5 , 2 \times 350}{100} = 18, 2$ La voiture consomme donc $18, 2$ L d’essence pour parcourir $350$ km.

On fait geler un volume de $75$ cL d’eau et on a obtenu $83$ cL de glace. Quel est le pourcentage d’augmentation de ce volume ?

Le volume a augmenté de $83 - 75 = 8$ cL.

Volume final (en cL)	$8$	$x$
Volume initial (en cL)	$75$	$100$

On calcule $x$ en utilisant le produit en croix : $x = \frac{8 \times 100}{75} = \frac{800}{75} \approx 10, 67$ Le pourcentage d’augmentation du volume est donc d’environ $10, 67$ %.