Réciproque du théorème de Pythagore

Connaître le théorème de Pythagore et sa réciproque.

Rappels sur le théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

On considère un triange $A BC$ . Si $A BC$ est rectangle en $A$ , alors $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ .

Le triangle ci-dessous est rectangle. Écrire l’égalité de Pythagore associée.

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On a $M N^{2} = O M^{2} + N O^{2}$ .

Méthode

Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore.

Le triangle $A BC$ ci-contre est rectangle en $A$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$B C^{2} = B A^{2} + A C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$ Donc $BC = 5 cm \approx 2, 24 cm$ .

Le triangle $I J K$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore.

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$I J^{2} 5^{2} 5^{2} - 3^{2} 16 = I K^{2} + K J^{2} = 3^{2} + K J^{2} = K J^{2} = K J^{2}$ Donc $K J = 16 cm = 4 cm$ .

On considère le triangle $J K L$ ci-dessous.

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Calculer une valeur approchée de $J L$ .

Le triangle $J K L$ ci-contre est rectangle en $K$ . On applique le théorème de Pythagore. $J L^{2} J L^{2} J L^{2} J L^{2} = J K^{2} + K L^{2} = 3^{2} + 1, 4^{2} = 9 + 1, 96 = 10, 96$ Donc $J L = 10, 96 cm \approx 3, 31 cm$ .

Réciproque du théorème de Pythagore

On considère un triange $A BC$ . Si $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A BC$ est rectangle en $A$ .

La réciproque d’un théorème s’obtient en échangeant ses hypothèses et sa conclusion. Si un théorème s’énoncé Si Affirmation 1, alors Affirmation 2, alors sa réciproque s’énonce Si Affirmation 2, alors Affirmation 1.

Il arrive qu’un théorème soit vrai, mais que sa réciproque soit fausse (le théorème de Rolle par exemple).

Méthode

Soit $A BC$ un triangle dont le plus grand côté est $[BC]$ .

Si $B C^{2} = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A BC$ est rectangle en $A$ .
Si $B C^{2} \neq = A B^{2} + C A^{2}$ , alors $A BC$ n’est pas rectangle en $A$ .

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Le côté le plus long est $[K I]$ .

D’une part :	D’autre part :
$= = K I^{2} 14, 2^{2} 201, 64$	$= = I S^{2} + S K^{2} 11, 3 6^{2} + 8, 5 2^{2} 201, 64$

$K I^{2} = I S^{2} + S K^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $S K I$ est rectangle.

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Le côté le plus long est $[MN]$ .

D’une part :	D’autre part :
$= = M N^{2} 2, 4^{2} 5, 76$	$= = N O^{2} + O M^{2} 1, 6^{2} + 1, 7^{2} 5, 45$

$M N^{2} \neq = N O^{2} + O M^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $MNO$ n’est pas rectangle.

Lorsque l’on conclue que le triangle n’est pas rectangle, on parle plutôt de contraposée du théorème de Pythagore.

On considère le triangle $D EF$ ci-dessous.

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Est-il rectangle ?

D’une part :	D’autre part :
$= = F E^{2} 5^{2} 25$	$= = F D^{2} + D E^{2} 3^{2} + 4^{2} 25$

$F E^{2} = F D^{2} + D E^{2}$ , donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $D EF$ est rectangle.