Ensembles de nombres

Reconnaître les ensembles usuels vus par le passé ( $N$ , $Z$ , $D$ et $Q$ ).
Découvrir les nombres irrationnels et apprivoiser l’ensemble $R$ des nombres réels, avec sa représentation sous forme de droite numérique.
Connaître les différents intervalles de $R$ avec les notations $- \infty$ et $+ \infty$ .
Savoir utiliser la valeur absolue et sa caractérisation en tant que distance.
Représenter l’intervalle $[a - r; a + r]$ et utiliser sa caractérisation par la condition $∣ x - a ∣ \leq r$ .

Ensembles usuels

Ensembles déjà connus

Définition

L’ensemble des nombres entiers naturels, noté $N$ , est l’ensemble des nombres entiers positifs : $N = {0; 1; 2; \dots}$ .
L’ensemble des nombres entiers relatifs, noté $Z$ , est l’ensemble des nombres entiers positifs ou négatifs : $Z = {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}$ .
L’ensemble des nombres décimaux, noté $D$ , est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire $\frac{a}{1 0 ^{n}}$ avec $a \in Z$ et $n \in N$ (ie. $D$ est l’ensemble des nombres à virgule ayant un nombre fini de chiffres après la virgule).
L’ensemble des nombres rationnels, noté $Q$ , est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire $\frac{a}{b}$ avec $a, b \in Z$ et $b \neq = 0$ .

On souhaite démontrer que $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal. Nous allons procéder par l’absurde.

Supposons que $\frac{1}{3}$ est un nombre décimal. Montrer qu’il existe $a \in Z$ et $n \in N$ tels que $1 0^{n} = 3 a$ .
Est-ce que $1 0^{n}$ peut être un multiple de $3$ ? Justifier.
Conclure.

Si $\frac{1}{3} \in D$ , alors il existe $a \in Z$ et $n \in N$ tels que $\frac{1}{3} = \frac{a}{1 0 ^{n}}$ . Or deux fractions sont égales si les produits des numérateurs par les dénominateurs (les produits en croix) sont égaux. Ceci à revient à dire que l’on doit avoir $1 \times 1 0^{n} = a \times 3 ⟺ 1 0^{n} = 3 a$
La somme des chiffres d’un multiple de $3$ est un multiple de $3$ . Or, la somme des chiffres de $1 0^{n} = 1 n z \overset{e}{ˊ} ros 000000 \dots$ est $1$ . Donc $1 0^{n}$ n’est pas un multiple de $3$ .
Par la question [correction-1], $1 0^{n}$ est un multiple de $3$ . Or, c’est absurde par la question [correction-2]. Donc, $\frac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Nombres réels

Définition

On appelle :

nombre irrationnel, un nombre qui n’est pas rationnel ;
nombre réel, un nombre rationnel ou irrationnel.

On note $R$ l’ensemble des nombres réels : c’est l’ensemble des nombres que l’on peut placer sur une droite graduée.

tikzpicture-1

Les ensembles vus depuis le début sont inclus les uns dans les autres : $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ On a, par exemple :

$5 \in N$ , donc $5 \in Z$ .
$5, 2 = \frac{52}{10}$ , donc $5, 2 \in D$ et ainsi $5, 2 \in Q$ .
$- 14 \in / N$ , mais $- 14 \in Z$ .
$\frac{1}{3} \in / D$ , mais $\frac{1}{3} \in Q$ .
$π$ est irrationnel : $π \in / Q$ .
$0 \in N$ , donc $0 \in Z$ , $0 \in D$ , $0 \in Q$ et $0 \in R$ .

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Compléter le tableau suivant avec $\in$ ou $\in /$ .

Nombre	$N$	$Z$	$D$	$Q$	$R$
$3$
$\frac{18}{3}$
$2 \times 1 0^{- 2}$
$- \frac{9}{11}$
$\frac{π ^{2}}{6}$
$1, 44$
$- 64$

Nombre	$N$	$Z$	$D$	$Q$	$R$
$3$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$
$= 6 \frac{18}{3}$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$
$= 0, 02 2 \times 1 0^{- 2}$	$\in /$	$\in /$	$\in$	$\in$	$\in$
$- 0, 818181818 - \frac{9}{11}$	$\in /$	$\in /$	$\in /$	$\in$	$\in$
$\frac{π ^{2}}{6}$	$\in /$	$\in /$	$\in /$	$\in /$	$\in$
$= 1, 12 1, 44$	$\in /$	$\in /$	$\in$	$\in$	$\in$
$= - 8 - 64$	$\in /$	$\in$	$\in$	$\in$	$\in$

Intervalles

Définition

L’ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$ (inclus) est appelé intervalle et se note $[a; b]$ . $a$ et $b$ sont les bornes de l’intervalle. On peut définir d’autres types d’intervalle.

Intervalle	Signification	Représentation
$[a; b]$	Les nombres compris entre $a$ inclus et $b$ inclus
$] a; b]$	Les nombres compris entre $a$ exclu et $b$ inclus
$[a; b [$	Les nombres compris entre $a$ inclus et $b$ exclu
$] a; b [$	Les nombres compris entre $a$ exclu et $b$ exclu
$[a; + \infty [$	Les nombres supérieurs à $a$
$] a; + \infty [$	Les nombres strictement supérieurs à $a$
$] - \infty; b]$	Les nombres inférieurs à $b$
$] - \infty; b [$	Les nombres strictement inférieurs à $b$

Quand le crochet est fermé (orienté vers la borne), la borne est incluse ; quand il est ouvert (non orienté vers la borne), la borne est exclue. À noter que le crochet est toujours ouvert en $- \infty$ et $+ \infty$ . On note généralement $R^{+} = [0, + \infty [$ et $R^{-} = [0, + \infty [$ .

Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $- 3 \leq x < 4$ . Puis, le représenter sur une droite graduée.
Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres strictement supérieurs à $\frac{1}{5}$ . Puis, le représenter sur une droite graduée.

Il s’agit de l’intervalle $[- 3; 4 [$ , que l’on peut représenter de la manière suivante :
Il s’agit de l’intervalle $] \frac{1}{5}; + \infty [$ , que l’on peut représenter de la manière suivante :

Union, intersection

Définition

Soient $I$ et $J$ deux intervalles.

L’intersection de $I$ et $J$ , noté $I \cap J$ , est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ .
La réunion de $I$ et $J$ , noté $I \cup J$ , est l’ensemble des nombres qui appartiennent à $I$ ou à $J$ (ou aux deux).

Par exemple, $R = R^{-} \cup R^{+}$ .

Écrire les intersections et les réunions suivantes sous la forme d’un seul intervalle.

$[- 4; 5] \cup [0; 10] =$
$] 0; 5] \cap [- 2; 3] =$
$[0; 4 [\cap [4; + \infty [=$
$[- 10; 5] \cup [4; 12] =$
$[1; 2] \cup [2; 3] \cup [2; 4] =$
$R^{-} \cap R^{+} =$

$[- 4; 5] \cup [0; 10] = [- 4; 10]$
$] 0; 5] \cap [- 2; 3] =] 0; 3]$
$[0; 4 [\cap [4; + \infty [= \emptyset$
$[- 10; 5] \cup [4; 12] = [- 10; 12]$
$[1; 2] \cup [2; 3] \cup [3; 4] = [1; 4]$
$R^{-} \cap R^{+} = {0} = [0; 0]$

Inégalités et inéquations

Manipulation d’inégalités

Propriété

Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre de l’inégalité.
Multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d’une inégalité conserve l’ordre de l’inégalité. Mais, multiplier ou diviser par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inégalité change l’ordre de l’inégalité.

$3 x + 8 < 7 ⟺ 3 x < - 1$

L’ordre ne change pas car on soustrait $8$ .

$2 x > 8 ⟺ x > 4$

L’ordre ne change pas car on divise par $2$ .

$- 3 x < 18 ⟺ x > - 6$ L’ordre change car on divise par $- 3$ .

Compléter par le symbole $<$ , $\leq$ , $>$ ou $\geq$ .

$x + 2 > 0 ⟺ x - 2$ .
$a < 10 ⟺ - 6 a - 60$ .
$y \geq 4 ⟺ y - 40$ .
$3 c \leq 4 ⟺ - 12 c - 16$ .

$x + 2 > 0 ⟺ x > - 2$ .
$a < 10 ⟺ - 6 a > - 60$ .
$y \geq 4 ⟺ y - 4 \geq 0$ .
$3 c \leq 4 ⟺ - 12 c \geq - 16$ .

Résolution d’inéquations

Définition

Une inéquation est une inégalité dans laquelle est présente une inconnue (ou des inconnues). Résoudre une inéquation revient à déterminer l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.

Parmi les inéquations suivantes, lesquelles acceptent le nombre $9$ comme solution ?

$- 3 x + 2 \geq 0$ :
$5 (x - 9) > 0$ :
$2 x < 1$ :
$\frac{x + 1}{4} \geq (- 3) \times \frac{x - 2}{3}$ :

$- 3 x + 2 \geq 0$ : non car $- 3 \times 9 = - 27 < 0$ .
$5 (x - 9) > 0$ : non car $5 \times (9 - 9) = 0 \leq 0$ .
$2 x < 1$ : oui car $2 \times 9 = 18 < 1$ .
$\frac{x + 1}{4} \geq (- 3) \times \frac{x - 2}{3}$ : oui car $\frac{9 + 1}{4} = 2, 5$ et $(- 3) \times \frac{9 - 2}{3} = - 7$ .

Méthode

Pour résoudre une inéquation du premier degré, on procède comme pour une équation, en isolant l’inconnue d’un côté du symbole de comparaison ( $<$ , $>$ , $\leq$ ou $\geq$ ). Cependant, la solution se donne sous la forme d’un intervalle.

$⟺ ⟺ 2 x + 4 \geq 8 2 x \geq 4 x \geq 2$

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L’ensemble solution est $S = [2; + \infty [$ .

Propriété

Lorsque les symboles $<$ ou $>$ sont dans l’énoncé, les crochets doivent être ouverts. Mais, lorsque les symboles $\leq$ ou $\geq$ sont dans l’énoncé, les crochets doivent être fermés.

Dans l’inéquation précédente, le crochet enferme la valeur $2$ car dans l’énoncé, le symbole $\geq$ est utilisé.

Résoudre l’inéquation $- x + 1 < 2 x + 10$ .

$⟺ ⟺ - x + 1 < 2 x + 10 - 3 x < 9 x > - 3$ D’où $S =] - 3; + \infty [$ .

Valeur absolue

Définition

Soit $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$ , notée $∣ x ∣$ , le nombre défini par $x = {x - x si x \geq 0 sinon$

Déterminer les valeurs absolues suivantes.

$∣ - 8∣ =$
$∣5∣ =$
$∣1 - 3∣ =$
$∣3 - 1∣ =$

$∣ - 8∣ = 8$
$∣5∣ = 5$
$∣1 - 3∣ = 2$
$∣3 - 1∣ = 2$

Propriétés

Soit une droite graduée d’origine $O$ . Sur cette droite, on considère le point $A$ d’abscisse $a$ et le point $B$ d’abscisse $b$ . Alors, $A B = ∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$ .
Soient $c$ un nombre réel et $r$ un nombre réel strictement positif. Alors, $x \in [c - r; c + r]$ si et seulement si $∣ x - c ∣ \leq r$ .

Déterminer sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres réels $x$ tels que $∣ x - 4∣ \leq 3$ .
On considère l’intervalle $I = [8; 20]$ . Écrire une inégalité sous la forme $∣ x - c ∣ \leq r$ (où $c$ et $r$ sont deux nombres réels à déterminer) vérifiée par tous les nombres appartenant à $I$ .

L’intervalle demandé est $[1; 7]$ .
L’inégalité demandée est $∣ x - 14∣ \leq 6$ , vérifiée pour tout $x \in I$ .