Statistiques descriptives

Savoir manipuler un indicateur de tendance centrale d’une série statistique : la moyenne pondérée.
Connaître les propriétés de linéarité de la moyenne pondérée.
Savoir manipuler des indicateurs de dispersion d’une série statistique : écart interquartile et écart type.
Décrire verbalement les différences entre deux séries statistiques, en s’appuyant sur des indicateurs ou sur des représentations graphiques données.

Vocabulaire

Définition

Une série statistique est un ensemble de valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ , ordonnées ou non.
L’effectif $n_{i}$ d’une donnée $x_{i}$ est le nombre de fois où elle apparaît dans cette série.
L’effectif total $N$ est la somme de tous les effectifs.
La fréquence $f_{i}$ d’une donnée $x_{i}$ est le quotient de son effectif par l’effectif total. $f_{i} = \frac{n _{i}}{N}$

Julie a regroupé ses dernières notes obtenues en mathématiques : $11$ ; $15$ ; $12$ ; $16$ ; $15$ .

La série de nombres ci-dessus est une série de données dont l’effectif total est $5$ . L’effectif de la note $15$ est $2$ , et sa fréquence est $\frac{2}{5}$ .

Indicateurs statistiques

Moyenne pondérée

Définition

On considère une série statistique constituée de $p$ valeurs $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ affectées de $p$ coefficients $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{p}$ . Alors, la moyenne pondérée de cette série est $\frac{c _{1} \times x _{1} + c _{2} \times x _{2} + \dots + c _{p} \times x _{p}}{c _{1} + c _{2} + \dots + c _{p}}$

Voici les ventes réalisées un samedi par la pizzeria Del Piero.

Prix (en €)	$8$	$9$	$9, 5$	$11$	$12$
Nombre de pizzas vendues	$16$	$24$	$8$	$12$	$20$

Calculer le prix moyen des pizzas vendues.

$\frac{8 \times 16 + 9 \times 24 + 9 , 5 \times 8 + 11 \times 12 + 12 \times 20}{16 + 24 + 8 + 12 + 20} = \frac{792}{80} = 9, 9$ Le prix moyen des pizzas vendues est donc $9, 90$ €.

Propriété

On considère une série statistique $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ de moyenne $m$ . Soient $a, b \in R$ . Alors :

La série statistique $a \times x_{1}, a \times x_{2}, \dots, a \times x_{p}$ a pour moyenne $a \times m$ .
La série statistique $x_{1} + b, x_{2} + b, \dots, x_{p} + b$ a pour moyenne $m + b$ .
La série statistique $a \times x_{1} + b, a \times x_{2} + b, \dots, a \times x_{p} + b$ a pour moyenne $a \times m + b$ .

Un commerçant achète des articles dont le prix moyen est de $22$ €. Il les revend en multipliant les prix par $1, 5$ pour avoir un bénéfice. Quelle est la nouvelle moyenne des prix de vente ?
Dans un autre magasin, le prix moyen d’un article est de $43$ €. Pour liquider son stock, le gérant décide de baisser les prix de tous les articles de $5$ €. Quelle est la nouvelle moyenne des prix de vente ?

Écart type

Définition

On considère une série statistique $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}$ de moyenne $m$ .

L’écart type de cette série est le nombre $\frac{( x _{1} - m ) ^{2} + ( x _{2} - m ) ^{2} + \dots + ( x _{p} - m ) ^{2}}{p}$
Dans le cas où cette série est pondérée par des coefficients $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{p}$ , son écart type est égal à $\frac{c _{1} ( x _{1} - m ) ^{2} + c _{2} ( x _{2} - m ) ^{2} + \dots + c _{p} ( x _{p} - m ) ^{2}}{c _{1} + c _{2} + \dots + c _{p}}$

L’écart type d’une série statistique est un indicateur de dispersion de cette série autour de la moyenne. Concrètement, il donne une certaine mesure de l’écart entre les valeurs de la série et la moyenne de celle-ci :

plus l’écart type d’une série est petit, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la moyenne, donc plus la série est homogène ;
plus l’écart type d’une série est grand, plus les valeurs de la série sont écartées de la moyenne, donc moins la série est homogène.

On considère deux entreprises de $10$ employés dans lesquelles le salaire moyen est $3000$ € :

l’entreprise $1$ dans laquelle $5$ employés gagnent $2500$ € et $5$ employés gagnent $3500$ € par mois.
l’entreprise $2$ dans laquelle $9$ employés gagnent $1200$ € et $1$ employé gagne $19200$ € par mois.

Pour chacune des deux entreprises, déterminer l’écart type de la série des salaires.
1. Entreprise $1$ .
2. Entreprise $2$ .
Interpréter la différence entre ces deux écarts-types.

1. L’écart type est de $500$ €.
2. L’écart type est de $5400$ €.
On constate que l’écart type des salaires de l’entreprise $1$ est beaucoup moins élevé (environ $11$ fois moins) que celui de l’entreprise $2$ : cela indique que la grille des salaires est plus homogène dans l’entreprise $1$ . Les employés de l’entreprise $1$ ont globalement des salaires proches du salaire moyen, $3000$ €, alors que dans l’entreprise $2$ , les salaires sont éloignés de $3000$ € (soit plus bas, soit plus haut).

Quartiles

Définition

Le premier quartile d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25$ % des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
La médiane d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $50$ % des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $75$ % des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.

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Pour déterminer ces indicateurs, on a souvent recours aux effectifs cumulés croissants. Pour une donnée, il s’agit du nombre de valeurs inférieures ou égales à sa valeur.

Un service de streaming vidéo a mené une enquête portant sur $812$ comptes répartis selon le nombre d’utilisateurs. Les résultats sont donnés ci-dessous.

Nombre d’utilisateurs	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$299$	$162$	$130$	$122$	$99$
Effectifs cumulés croissants	$299$	$461$	$591$

La ligne Effectifs cumulés croissants n’est remplie que partiellement. Compléter les cellules restantes.
1. Quel est l’effectif total de la série ?
2. Calculer les indicateurs suivants.
  - Médiane.
  - Premier quartile.
  - Troisième quartile.

Nombre d’utilisateurs $1$ $2$ $3$ $4$ $5$

Effectif $299$ $162$ $130$ $122$ $99$

Effectifs cumulés croissants $299$ $461$ $591$ $713$ $812$
1. L’effectif total de cette série est $812$ .
2. - $\frac{812}{2} = 406$ : la médiane est la $406$ e valeur. C’est $2$ .
  - $\frac{812}{4} = 203$ : le premier quartile est la $203$ e valeur. C’est $1$ .
  - $3 \times \frac{812}{4} = 609$ : le troisième quartile est la $609$ e valeur. C’est $4$ .

Définition

L’écart interquartile d’une série est la différence entre son troisième et son premier quartile.

Il s’agit là encore d’un indicateur de dispersion. Plus cet écart est petit, plus les valeurs de la série qui sont dans l’intervalle $[Q_{1}; Q_{3}]$ sont proches les unes des autres. Les valeurs en dehors de $[Q_{1}; Q_{3}]$ n’ont pas d’influence sur celui-ci.

On donne le tableau résumant les temps d’entraînement, en secondes, d’un coureur sur $400$ m sur deux mois.

Mois	Premier quartile	Médiane	Troisième quartile
Mois $1$	$52$	$55$	$58$
Mois $2$	$50$	$52$	$54$

Calculer les écarts interquartiles correspondants, et interpréter la différence.

Pour le premier mois, l’écart interquartile vaut $58 - 52 = 6$ Et pour le deuxième mois, l’écart interquartile vaut $54 - 50 = 4$ Il est passé de $6$ sec à $4$ sec : on peut dire que le coureur a gagné en régularité.

Notons également que le premier quartile du premier mois est égal à la médiane du deuxième mois : $52$ sec. Cela veut dire qu’il court $52$ sec ou moins environ $25$ % des courses le premier mois, et environ $50$ % des courses le second mois. Il a donc amélioré ses résultats.