Vecteurs du plan

Connaître les notions de direction, sens et norme pour un vecteur.
Représenter géométriquement des vecteurs.
Savoir repérer deux vecteurs égaux ou colinéaires.
Utiliser la relation de Chasles.
Connaître les opérations sur les vecteurs et leur représentation géométrique.
Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.

Translations

Définition

Lorsque l’on réalise une translation sur une figure, la direction, le sens et la longueur de celle-ci définissent le vecteur associé à cette translation. Un vecteur est donc un déplacement dans le plan : on le représente par une flèche. Le vecteur qui ne représente aucun déplacement est appelé vecteur nul.

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Propriété

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points. $A B D C$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) si et seulement si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $A B$ (ie. $A B = C D$ ).

Le quadrilatère $A B D C$ ci-contre est un parallélogramme. $E$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $A C$ .

Placer $F$ , l’image de $E$ par la translation de vecteur $A B$ .
Citer deux autres parallélogrammes que $A B D C$ .

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Comme $F$ est le translaté de $E$ par rapport au vecteur $A B$ , $A BFE$ est un parallélogramme. De plus, $(A B) / / (C D)$ et $(A B) / / (FE)$ , donc $(C D) / / (FE)$ (et de même $(CE) / / (D F)$ ). Ainsi, $C D FE$ est aussi un parallélogramme.

Vecteurs

Caractéristiques

Définition

Soient $A$ et $B$ deux points. On appelle :

Direction de $A B$ , la direction de la droite $(A B)$ .
Sens de $A B$ , le sens de $A$ vers $B$ .
Norme de $A B$ , notée $∥ A B ∥$ , la longueur du segment $[A B]$ (qui correspond à $A B$ ).

Deux vecteurs ayant même direction, sens et norme sont dits égaux.

Définition

Un vecteur $u$ est un déplacement : il n’est pas nécessairement attaché à un point particulier. On peut le placer n’importe où dans le plan. Chacun des vecteurs égaux à $u$ s’appelle un représentant de $u$ .

$A BC D EF$ est un hexagone régulier de centre $O$ .

Citer un vecteur qui a la même direction que $A B$ , mais pas le même sens ni la même norme.
Donner le représentant de $C D$ d’origine $A$ .
Citer deux vecteurs égaux à $BC$ autre que lui-même.

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$CF$ est un vecteur de même direction que $A B$ mais qui a un sens opposé est une norme plus grande.
Ce représentant est $A F$ .
Il y a, par exemple, $A O$ et $FE$ .

Somme

Définition

La somme de deux vecteurs $u$ et $v$ , notée $u + v$ , est le vecteur associé à la translation de vecteur $u$ suivie de la translation de vecteur $v$ .

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Propriété

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points. On a la relation suivante : $A B + BC = A C$ Elle s’appelle relation de Chasles.

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On considère le carré $A BC D$ ci-contre de centre $O$ . Construire un représentant des vecteurs suivants.

$C D + D O$ .
$A B + O D$ .

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$C D + D O = CO$ : c’est le relation de Chasles.
$A B + O D$ :

Différence

Définition

Le vecteur opposé d’un vecteur $u$ , noté $- u$ , est le vecteur qui possède la même direction, la même norme, mais un sens opposé.

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Définition

La différence de deux vecteurs $u$ et $v$ , notée $u - v$ , est le vecteur $u - v = u + (- v)$ ie. $u - v$ est la somme de $u$ avec l’opposé de $v$ . On a de plus la relation $u - u = 0$ .

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Simplifier les écritures vectorielles suivantes en les écrivant sous la forme d’un seul vecteur.

$RT + TE =$ .
$A R - CR =$ .
$C D + RC =$ .
$A B + C A - SB =$ .

$RT + TE = RE$
$A R - CR = A R - (- RC) = A R + RC = A C$
$C D + RC = RC + C D = R D$
$A B + C A - SB = C A + A B - SB = CB - (- BS) = C A + CB + BS = CS$

Multiplication par un nombre

Définition

Soient $u$ un vecteur et $k$ un nombre réel non nul. On définit le vecteur $k u$ , le résultat de la multiplication entre $k$ et $u$ , par :

sa direction : la même que celle de $u$ ;
son sens : le même que celui de $u$ si $k > 0$ , le sens opposé sinon ;
sa norme : $k \times ∥ u ∥$ si $k > 0$ , $- k \times ∥ u ∥$ sinon.

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On considère le vecteur $u$ ci-contre. Construire chacun des vecteurs suivants.

$2 u$ .
$- 3 u$ .
$\frac{1}{2} u$ .

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Remarque

Les opérations se font pareil que sur les nombres. Ainsi, pour tout nombres $k$ , $k^{'}$ et vecteurs $u$ , $v$ , $w$ :

$u + v = v + u$
$(u + v) + w = u + (v + w)$
$u + 0 = u$
$k (u + v) = k u + k v$
$(k + k^{'}) u = k u + k^{'} u$
$(k k^{'}) u = k (k^{'} u)$

Colinéarité

Définition

On dit que deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires s’il existe un nombre réel $k$ tel que $v = k u$ .

Repasser de la même couleur les vecteurs colinéaires.

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Propriété

Deux droites $(A B)$ et $(MN)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $A B$ et $MN$ sont colinéaires.
Trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $A B$ et $A C$ sont colinéaires.

Soient $A BC$ un triangle et $P$ et $R$ deux points tels que $A P = \frac{2}{3} A B + \frac{2}{3} A C$ et $A R = 2 A B + 2 A C$ .

Montrer que $3 A P = A R$ .
Que peut-on dire des points $A$ , $R$ et $P$ ?

$3 A P = 3 (\frac{2}{3} A B + \frac{2}{3} A C) = 2 A B + 2 A C = A R$
Les vecteurs $A P$ et $A R$ sont alignés, donc $A$ , $R$ et $P$ sont alignés.