Vecteurs du plan

Définition

Lorsque l’on réalise une translation sur une figure, la direction, le sens et la longueur de celle-ci définissent le vecteur associé à cette translation. Un vecteur est donc un déplacement dans le plan : on le représente par une flèche. Le vecteur qui ne représente aucun déplacement est appelé vecteur nul.

Propriété

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points. $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) si et seulement si $D$ est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ (ie. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$).

Définitions

Soient $A$ et $B$ deux points. On appelle :

• Direction de $\overrightarrow{AB}$, la direction de la droite $(AB)$.

• Sens de $\overrightarrow{AB}$, le sens de $A$ vers $B$.

• Norme de $\overrightarrow{AB}$, notée $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$, la longueur du segment $[AB]$ (qui correspond à $AB$).

Deux vecteurs ayant même direction, sens et norme sont dits égaux.

Définition

Un vecteur $\overrightarrow{u}$ est un déplacement : il n’est pas nécessairement attaché à un point particulier. On peut le placer n’importe où dans le plan. Chacun des vecteurs égaux à $\overrightarrow{u}$ s’appelle un représentant de $\overrightarrow{u}$.

Définition

La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, notée $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, est le vecteur associé à la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$.

Propriété

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. On a la relation suivante : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$ Elle s’appelle relation de Chasles.

Définition

Le vecteur opposé d’un vecteur $\overrightarrow{u}$, noté $-\overrightarrow{u}$, est le vecteur qui possède la même direction, la même norme, mais un sens opposé.

Définition

La différence de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, notée $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, est le vecteur $$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})$$ ie. $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ est la somme de $\overrightarrow{u}$ avec l’opposé de $\overrightarrow{v}$. On a de plus la relation $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.

Définition

Soient $\overrightarrow{u}$ un vecteur et $k$ un nombre réel non nul. On définit le vecteur $k\overrightarrow{u}$, le résultat de la multiplication entre $k$ et $\overrightarrow{u}$, par :

• sa direction : la même que celle de $\overrightarrow{u}$ ;

• son sens : le même que celui de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, le sens opposé sinon ;

• sa norme : $k\times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$ si $k>0$, $-k\times \Vert \overrightarrow{u}\Vert$ sinon.

Remarque

Les opérations se font pareil que sur les nombres. Ainsi, pour tout nombres $k$, $k^{\prime }$ et vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ :

• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$

• $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$

• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$

• $k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$

• $(k+k^{\prime })\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}+k^{\prime }\overrightarrow{u}$

• $(k{k}^{\prime })\overrightarrow{u}=k(k^{\prime }\overrightarrow{u})$

Définition

On dit que deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s’il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.

Propriété

• Deux droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires.

• Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.