Symétrie axiale

Compléter une figure par symétrie axiale.
Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite par rapport à un axe donné.
Construire la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à un axe donné.
Connaître les propriétés de conservation de la symétrie axiale.

Généralités

Définitions

Une symétrie axiale est une transformation géométrique du plan qui modélise un effet miroir par rapport à une droite $(d)$ .
Le résultat est appelé symétrique par rapport à $(d)$ .
La droite $(d)$ est l’axe de symétrie de cette transformation.

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Compléter les figures de sorte que la droite $(d)$ soit leur axe de symétrie.

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Construction d’un symétrique

Symétrique d’un point par rapport à une droite

Propriété

Soit $(d)$ une droite.

Si un point $A$ n’appartient pas à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est le point $A^{'}$ tel que $(d)$ est la médiatrice de $[A A^{'}]$ .
Si un point $B$ appartient à $(d)$ , alors son symétrique par rapport à $(d)$ est lui-même.

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Construire $M^{'}$ et $N^{'}$ , les symétriques respectifs de $M$ et de $N$ par rapport à $(d)$ .
1. Placer $I$ le point d’intersection de $(M M^{'})$ et $(d)$ .
2. Que peut-on dire de $M I$ et $I M^{'}$ ? Justifier.

2. La droite $(d)$ est la médiatrice du segment $[M M^{'}]$ , donc par définition, $M I = I M^{'}$ .

Symétrique d’une figure par rapport à une droite

Définition

Le symétrique d’une figure par rapport à une droite est le symétrique de tous les points qui la composent par rapport à cette droite.

Pour chacune des figures ci-dessous, construire son symétrique par rapport à la droite $(d)$ .

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Méthode

Pour construire le symétrique d’une droite $(A B)$ par rapport à une droite $(d)$ :

On construit le symétrique $A^{'}$ de $A$ par rapport à $(d)$ .
On construit le symétrique $B^{'}$ de $B$ par rapport à $(d)$ .
On trace la droite $(A^{'} B^{'})$ .

Construire $(d_{3})$ la droite symétrique de la droite $(d_{1})$ par rapport à la droite $(d_{2})$ .

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Il suffit de placer deux points $A$ et $B$ sur $(d)$ , d’en construire les symétriques respectifs $A^{'}$ et $B^{'}$ , puis de relier ces deux derniers points.

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Propriétés de la symétrie axiale

Propriété

Si des points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à une droite sont alignés. On dit que la symétrie axiale conserve les alignements.

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Les points $R$ , $S$ et $T$ sont-ils alignés ?
Tracer les symétriques des points $R$ , $S$ et $T$ par rapport à la droite $(d)$ . Les nommer $R^{'}$ , $S^{'}$ et $T^{'}$ .
Sans le vérifier, dire si les points $R^{'}$ , $S^{'}$ et $T^{'}$ sont alignés. Justifier.

1. Oui, ces points sont alignés car ils sont tous trois situés sur la droite $(RT)$ .
3. Oui, ces points sont alignés car ce sont les symétriques respectifs de $R$ , $S$ et $T$ et la symétrie axiale conserve les alignements.
Le segment $[ST]$ mesure environ $4$ cm.
Les points $S^{'}$ et $T^{'}$ sont les symétriques respectifs de $S$ et $T$ . Or, la symétrie axiale conserve les longueurs. Donc, $S^{'} T^{'} = ST = 4$ cm.

Propriété

Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.

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Tracer le segment $[C D]$ . Quelle est sa longueur ?
Tracer le segment $[C^{'} D^{'}]$ symétrique de $[C D]$ par rapport à $(d)$ .
Sans aucune mesure, donner la longueur du segment $[C^{'} D^{'}]$ . Justifier.

$C D \approx 2, 8$ cm.
On place les points $C^{'}$ et $D^{'}$ , puis on les relie.
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. Donc $C^{'} D^{'} = C D \approx 2, 8$ cm.

Propriété

Deux figures symétriques par rapport à une droite ont la même forme. On dit que la symétrie axiale conserve les angles, les périmètres et les aires.

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1. Calculer le périmètre $P_{1}$ de la Figure 1.
2. Calculer l’aire $A_{1}$ de la Figure 1.
Tracer la Figure 2 symétrique de la Figure 1 par rapport à la droite $(d)$ .
Sans aucune mesure, donner le périmètre $P_{2}$ de la Figure 2 ainsi que l’aire $A_{2}$ de la Figure 2. Justifier.

Commençons par décomposer cette figure :

Elle est composée d’un triangle $A BC$ rectangle en $C$ tel que $A B \approx 2, 2$ cm, $BC = 2$ cm et $C A = 1$ cm ainsi que d’un demi-cercle de rayon $C A = 1$ cm. Nous pouvons maintenant calculer son périmètre et son aire.
1. $P_{1} = A B + BC + π \times C A \approx 4, 2 + π cm \approx 7, 3 cm$ .
2. $A_{1} = BC \times C A \div 2 + π \times C A \times C A \div 2 = 1 + π cm² \approx 4, 1 cm²$ .
La symétrie axiale conserve aires et périmètres, donc $P_{2} = P_{1} \approx 7, 3 cm$ et $A_{2} = A_{1} \approx 4, 1 cm²$ .