Arithmétique

Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.
Déterminer les nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ .
Utiliser les critères de divisibilité par $2$ , $3$ , $5$ , $9$ , $10$ .
Déterminer les diviseurs d’un nombre à la main, à l’aide d’un tableur, d’une calculatrice.
Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers (à la main ou à l’aide d’un logiciel).
Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.
Modéliser et résoudre des problèmes mettant en jeu la divisibilité.

Nombres entiers

Multiples et diviseurs

Définition

On dit qu’un nombre entier est un multiple d’un autre, si ce nombre est dans la table de multiplication de l’autre. On dit également que cet autre nombre est un diviseur du premier nombre. On a la relation suivante : $multiple = diviseur \times quotient$

Méthode

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre entier $n$ , on teste la divisibilité de $n$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $n$ .

Dresser la liste des diviseurs des nombres suivants.

$21$ :
$6$ :
$15$ :
$11$ :

On calcule : $21 \approx 4, 58$ . Il suffit de tester la divisibilité de $21$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $21 = 1 \times 21$ , donc $1$ et $21$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 2 \times 10 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $2$ .
- $21 = 3 \times 7$ , donc $3$ et $7$ sont des diviseurs de $21$ .
- $21 = 4 \times 5 + 1$ , donc $21$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ ; $3$ ; $7$ et $21$ .
On calcule : $6 \approx 2, 45$ . Il suffit de tester la divisibilité de $6$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$ .
- $6 = 1 \times 6$ , donc $1$ et $6$ sont des diviseurs de $6$ .
- $6 = 2 \times 3$ , donc $2$ et $3$ sont des diviseurs de $6$ .
Les diviseurs de $6$ sont donc $1$ ; $2$ ; $3$ et $6$ .
On calcule : $15 \approx 3, 87$ . Il suffit de tester la divisibilité de $15$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $15 = 1 \times 15$ , donc $1$ et $15$ sont des diviseurs de $15$ .
- $15 = 2 \times 7 + 1$ , donc $15$ n’est pas divisible par $2$ .
- $15 = 3 \times 5$ , donc $3$ et $5$ sont des diviseurs de $15$ .
Les diviseurs de $15$ sont donc $1$ ; $3$ ; $5$ et $15$ .
On calcule : $11 \approx 3, 32$ . Il suffit de tester la divisibilité de $11$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$ .
- $11 = 1 \times 11$ , donc $1$ et $11$ sont des diviseurs de $11$ .
- $11 = 2 \times 5 + 1$ , donc $11$ n’est pas divisible par $2$ .
- $11 = 3 \times 3 + 2$ , donc $11$ n’est pas divisible par $3$ .
Les diviseurs de $11$ sont donc $1$ et $11$ .

Compléter la phrase suivante.

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre pommes par carton, car .

J’ai $100$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre $20$ pommes par carton, car $100 = 5 \times 20$ .

Propriété

Tout nombre entier est divisible par $1$ et par lui-même.

Propriétés

Voici quelques critères de divisibilité :

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$ .
Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ .
Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ .
Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .
Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$ .

Division euclidienne

Définition

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un autre différent de $0$ (le diviseur), c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, tels que : $dividende = diviseur \times quotient + reste$ Le reste étant toujours inférieur au diviseur.

Compléter la phrase suivante.

J’ai $101$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre pommes par carton et il en restera , car .

J’ai $101$ pommes à répartir équitablement dans $5$ cartons. Cela revient à mettre $20$ pommes par carton, car $101 = 5 \times 20 + 1$ .

Poser et effectuer la division euclidienne de $621$ par $3$ .

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Propriété

Si, à l’issue de la division euclidienne d’un nombre par un autre, le reste vaut $0$ ; alors, le premier nombre est divisible par le second.

Expliquer de deux manières différentes pourquoi $621$ est divisible par $3$ .

Le reste de la division euclidienne de $621$ par $3$ vaut $0$ (voir l’exercice précédent).
$6 + 2 + 1 = 9 = 3 \times 3$ , donc le critère de divisibilité par $3$ est vérifié par $621$ .

Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre entier plus grand que $1$ qui n’est divisible que par $1$ et par lui-même.

Donner $4$ nombres premiers inférieurs à $100$ .

$2$ .
$3$ .
$5$ .
$7$ .

Méthode

Pour montrer qu’un entier naturel $n$ est premier, on vérifie qu’il ne possède aucun diviseur inférieur ou égal à $n$ .

Montrer que $23$ est un nombre premier.
Montrer que $12345678$ n’est pas un nombre premier.

On calcule : $23 \approx 4, 8$ . Il suffit de tester la divisibilité de $23$ par tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ .
- $23 = 1 \times 23$ , donc $1$ et $23$ sont des diviseurs de $23$ .
- $23 = 2 \times 11 + 1$ , donc $23$ n’est pas divisible par $2$ .
- $23 = 3 \times 7 + 2$ , donc $23$ n’est pas divisible par $3$ .
- $23 = 4 \times 5 + 3$ , donc $23$ n’est pas divisible par $4$ .
Les diviseurs de $21$ sont donc $1$ et $21$ . Ainsi, $21$ est premier.
$12345678$ est un nombre pair, il est donc divisible par $2$ . Nous avons donc trouvé un autre diviseur que $1$ et $12345678$ , cela signifie que $12345678$ n’est pas premier.

Propriété

Il existe une infinité de nombres premiers.

Décomposition en produit de facteurs premiers

Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout nombre entier plus grand que $1$ peut s’écrire comme produit de nombres premiers. Il s’agit de la décomposition en produit de facteurs premiers de ce nombre.

De plus, cette décomposition est unique (si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs).

Décomposer les nombres entiers suivants en produit de facteurs premiers.

$360 =$
$1515 =$

$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 5 \times 3^{2}$
$1515 = 5 \times 303 = 5 \times 3 \times 101$

Fractions irréductibles

Définition

Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux s’ils n’admettent aucun diviseur commun hormis $1$ .

Est-ce que $5$ et $11$ sont premiers entre eux ?

Ces deux nombres sont premiers, donc leur seul diviseur commun est $1$ . Ils sont donc premiers entre eux.

Méthode

Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, on vérifie qu’ils n’ont aucun facteur commun dans leur décomposition en produit de facteurs premiers.

$46$ et $5460$ ne sont pas premiers entre eux car $46 = 2 \times 23$ et $5460 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$ .

Définition

Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier (ie. l’écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits).

$\frac{3}{4}$ est une fraction irréductible mais $\frac{5}{10}$ ne l’est pas (car $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ ).

Propriété

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Dire si les fractions suivantes sont irréductibles. Les réduire dans le cas contraire.

$\frac{10}{14}$ :
$\frac{55}{35}$ :
$\frac{23}{3}$ :

Décomposons $10$ et $14$ en produits de facteurs premiers.
- $10 = 2 \times 5$ .
- $14 = 2 \times 7$ .
D’où : $\frac{10}{14} = \frac{2 \times 5}{2 \times 7} = \frac{5}{7}$
Décomposons $55$ et $35$ en produits de facteurs premiers.
- $55 = 5 \times 11$ .
- $35 = 5 \times 7$ .
D’où : $\frac{55}{35} = \frac{5 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{7}$
$23$ et $3$ sont deux nombres premiers, donc leur seul diviseur commun est $1$ . Ils sont donc premiers entre eux. Ainsi, la fraction $\frac{23}{3}$ est irréductible.