Théorème de Thalès

Connaître le théorème de Thalès.
Dans une configuration de Thalès, savoir calculer une longueur manquante en utilisant la proportionnalité.
Démontrer le parallélisme de deux droites en s’appuyant sur des rapports de longueurs.

Théorème de Thalès

Égalité de Thalès

Théorème de Thalès

Soient un triangle $A BC$ et deux points $D \in (A B)$ et $E \in (A C)$ . Si $(D E) / / (BC)$ , alors $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$ .

Remarque

On a également $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E} = \frac{BC}{D E}$ . Ces égalités signifient que le triangle $A D E$ est une réduction (ou un agrandissement) du triangle $A BC$ .

Dans la figure ci-contre, les droites $(A B)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Écrire l’égalité de Thalès correspondant à cette figure.
En mesurant les longueurs sur la figure, vérifier cette égalité.

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Les points $O$ , $A$ et $M$ sont alignés. Les points $O$ , $B$ et $N$ sont alignés. De plus, $(A B) / / (MN)$ . On applique le théorème de Thalès. $\frac{O A}{OM} = \frac{OB}{ON} = \frac{A B}{MN}$
En mesurant les longueurs sur la figure, on trouve :
- $O A = 0, 75$ cm, $OM = 3$ cm, donc $\frac{O A}{OM} = \frac{0 , 75}{3} = 0, 25$ .
- $OB = 0, 56$ cm, $ON = 2, 24$ cm, donc $\frac{OB}{ON} = \frac{0 , 56}{2 , 24} = 0, 25$ .
- $A B = 0, 5$ cm, $MN = 2$ cm, donc $\frac{A B}{MN} = \frac{0 , 5}{2} = 0, 25$ .
On constate que les trois rapports sont égaux.

Calculs de longueurs

Théorème de Thalès

Soient un triangle $A BC$ et deux points $D \in (A B)$ et $E \in (A C)$ . Si $(D E) / / (BC)$ , alors $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$ .

Méthode

En présence d’un triangle et d’une droite parallèle à un côté, on peut utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur.

On considère le triangle ci-contre.

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Calculons les longueurs $CN$ et $C A$ . On sait :

$C$ , $M$ et $A$ sont alignés.
$C$ , $N$ et $B$ sont alignés.
$(MN) / / (A B)$ .

On applique le théorème de Thalès. $\frac{CM}{C A} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{A B} ⟹ \frac{4 , 8}{C A} = \frac{CN}{5} = \frac{3 , 2}{4}$ Ainsi :

$\frac{CN}{5} = \frac{3 , 2}{4}$ , donc $CN = 5 \times \frac{3 , 2}{4} = 4$ cm.
$\frac{4 , 8}{C A} = \frac{3 , 2}{4}$ , c’est à dire $\frac{C A}{4 , 8} = \frac{4}{3 , 2}$ , donc $C A = 4, 8 \times \frac{4}{3 , 2} = 6$ cm.

On considère la figure ci-contre où $(A B) / / (D E)$ .

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Calculer $A C$ .

On sait :

$A$ , $C$ et $E$ sont alignés.
$B$ , $C$ et $D$ sont alignés.
$(A B) / / (D E)$ .

On applique le théorème de Thalès. $\frac{CE}{C A} = \frac{C D}{CB} = \frac{D E}{A B} ⟹ \frac{6}{C A} = \frac{3}{5} = \frac{D E}{A B}$ Ainsi : $\frac{6}{C A} = \frac{3}{5}, donc C A = 6 \times \frac{5}{3} = 10 cm.$

Réciproque du théorème de Thalès

Soient un triangle $A BC$ et deux points $D \in [A B]$ et $E \in [A C]$ . Si $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ , alors $(D E) / / (BC)$ .

Méthode

Pour montrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles, on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès.

On se demande si $(G H)$ et $(F D)$ sont parallèles.

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On sait :

$E$ , $G$ et $F$ sont alignés dans le même ordre.
$E$ , $H$ et $D$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{EG}{EF} = 0, 6 et \frac{E H}{E D} = 0, 6$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(G H)$ et $(F D)$ sont parallèles.

On se demande si $(A B)$ et $(O I)$ sont parallèles.

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On sait :

$A$ , $L$ et $I$ sont alignés dans le même ordre.
$B$ , $L$ et $O$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{L A}{L I} = 0, 4 et \frac{L B}{L O} = 0, 5$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(G H)$ et $(F D)$ ne sont pas parallèles.

On considère la figure ci-dessous.

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En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, dire si les droites $(BM)$ et $(PC)$ sont parallèles ou non.

On sait :

$B$ , $A$ et $M$ sont alignés dans le même ordre.
$C$ , $A$ et $P$ sont alignés dans le même ordre.

Or, $\frac{A M}{A B} = \frac{4}{7} \approx 0, 57 et \frac{A P}{A C} = \frac{6}{8} = 0, 75$ D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(BM)$ et $(PC)$ ne sont pas parallèles.

Lorsque l’on conclue que deux droites ne sont pas parallèles, on parle plutôt de contraposée du théorème de Thalès.